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<!DOCTYPE html>

<title>Achteck</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Achteck</span></h1>

</header>

</div>

<p>Ein <b>Achteck</b> (auch <b>Oktogon</b> oder <b>Oktagon</b>, von lat. <i>octogonum, octagonum, octagonon,</i> von <a href="Altgriechische_Sprache" title="Altgriechische Sprache">griech.</a> ὀκτάγωνον <i>oktágōnon</i>) ist eine <a href="Geometrische_Figur" title="Geometrische Figur">geometrische Figur</a> und ein Vieleck (<a href="Polygon" title="Polygon">Polygon</a>) mit acht <a href="Ecke" title="Ecke">Ecken</a> und acht Seiten. Achtecke lassen sich, wie alle Polygone, die keine <a href="Dreieck" title="Dreieck">Dreiecke</a> sind, in <a href="Konvexe_Menge" title="Konvexe Menge">konvexe, konkave</a> und <a href="Polygon#Weitere_Typen" title="Polygon">überschlagene</a> Achtecke einteilen. In <i>Variationen</i> wird dies näher beschrieben und im Anschluss daran das regelmäßige Achteck ausführlich dargestellt.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Variationen">Variationen</h2></div>

<p>Das Achteck ist darstellbar als:

</p>

<ul><li>konvexes Achteck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Ein konvexes Achteck kann <a href="Regelm%C3%A4%C3%9Figes_Polygon" title="Regelmäßiges Polygon">regelmäßig</a> (Einleitungsbild) oder unregelmäßig (Bild 1) sein.</li></ul>

<dl><dd><ul><li>Das regelmäßige Achteck ist bestimmt durch acht Punkte auf einem virtuellen oder realen Kreis. Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten <a href="Strecke_(Geometrie)" title="Strecke (Geometrie)">Strecken</a>, auch <i>Seiten</i> oder <i>Kanten</i> genannt, verbunden.</li></ul></dd></dl>

<ul><li>konkaves Achteck (Bild 2), in dem mindestens ein <a href="Innenwinkel" title="Innenwinkel">Innenwinkel</a> größer als 180° ist.</li>

<li>überschlagenes Achteck (Bild 2): Ein überschlagenes Achteck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.</li></ul>

<dl><dd><ul><li>Das regelmäßige überschlagene Achteck (Bild 3) ergibt sich, wenn beim Verbinden der acht <a href="Eckpunkt" class="mw-redirect" title="Eckpunkt">Eckpunkte</a> jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten <a href="Sehne_(Geometrie)" title="Sehne (Geometrie)">Sehnen</a> gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen <a href="Stern_(Geometrie)" title="Stern (Geometrie)">Sterne</a> mit <a href="Schl%C3%A4fli-Symbol" title="Schläfli-Symbol">Schläfli-Symbolen</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left\{n/k\right\}}">

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left\{n/k\right\}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/368efc6f67f6b13028235faffc6a5dac6aa0f59f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.093ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \left\{n/k\right\}}" loading="lazy"></span>, wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle k}" loading="lazy"></span>-te <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkt</a> verbunden wird.</li></ul></dd></dl>

<dl><dd><dl><dd>Es gibt nur einen regelmäßigen Achtstrahlstern, auch <a href="Achterstern" title="Achterstern">Achterstern</a> oder <i>Oktogramm</i> genannt.</dd></dl></dd></dl>

<dl><dd><dl><dd>Die „Sterne“ mit den Symbolen {8/2} und {8/6} sind <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrate</a>. Legt man diese zwei Quadrate mit ihren Achs- und Diagonallinien übereinander und dreht sie anschließend relativ zueinander um 45°, siehe die weißen Dreiecke im Stern, ergibt sich ein <a href="Achtort" title="Achtort">Achtort</a>.</dd></dl></dd></dl>

<ul><li>Sehnenachteck (Bild 4), in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen <a href="Umkreis" title="Umkreis">Umkreis</a> liegen, aber die Seitenlängen möglicherweise ungleich sind.</li></ul>

<dl><dd>Ein besonderes Sehnenachteck ist das sog. Putnam-Achteck, das 1978 in der <a href="William_Lowell_Putnam_Competition" title="William Lowell Putnam Competition">William Lowell Putnam Competition</a>, einem bedeutenden Mathematikwettbewerb in den USA, als Aufgabe präsentiert wurde.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Es besitzt vier aufeinanderfolgende Seiten der Längenmaßzahl 3 und weitere vier aufeinanderfolgende Seiten der Längenmaßzahl 2 (Bild 5). Seine Flächenmaßzahl beträgt nach Umordnung der Teildreiecke und Anwendung des Satzes des Pythagoras (Bild 6)</dd>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (2\cdot {\sqrt {2}}+3)^{2}-4\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {2}}\right)^{2}=12\cdot {\sqrt {2}}+13}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1f1bf47b90c8fc3e9f81022fcff5724fe33d548.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:43.814ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle (2\cdot {\sqrt {2}}+3)^{2}-4\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {2}}\right)^{2}=12\cdot {\sqrt {2}}+13}" loading="lazy"></span>.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Regelmäßiges_Achteck"><span id="Regelm.C3.A4.C3.9Figes_Achteck"></span>Regelmäßiges Achteck</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Formeln">Formeln</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Regelm%C3%A4%C3%9Figes_Polygon#Kenngrößen" title="Regelmäßiges Polygon">Regelmäßiges Polygon - Kenngrößen</a></i></div>

<th colspan="3" style="background:#C0C0FF">Mathematische Formeln zum regelmäßigen Achteck

</th></tr>

<tr>

<td><b><a href="Kreiswinkel" title="Kreiswinkel">Zentriwinkel</a></b>

</td>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{8}}=45^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b823858bdb489aefc27330b8f707dbbe4370aaf1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:16.441ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{8}}=45^{\circ }}" loading="lazy"></span>

</td>

</td></tr>

<tr>

<td><b><a href="Innenwinkel" title="Innenwinkel">Innenwinkel</a></b>

</td>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta =180^{\circ }-\alpha =135^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fe178f7cce99fe5d1a0758885af6098da158362.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:20.657ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \delta =180^{\circ }-\alpha =135^{\circ }}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td><b><a href="Inkreis" title="Inkreis">Inkreisradius</a></b>

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{i}={\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\cdot a\approx 1{,}207\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbd3591a9ccee94e7f2006c775abead0f664ce4a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:27.097ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle r_{i}={\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\cdot a\approx 1{,}207\cdot a}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td><b><a href="Umkreis" title="Umkreis">Umkreisradius</a></b>

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{u}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\cdot a\approx 1{,}307\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ebf43bc45a0d7583077b94923bb6d8ad55b7d670.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:33.798ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle r_{u}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\cdot a\approx 1{,}307\cdot a}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td><b>Radiusverhältnis</b>

</td>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {r_{i}}{r_{u}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\approx 0{,}92388}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9c830ad95daf2c0344062677251ea7774f39034.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:28.299ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {r_{i}}{r_{u}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\approx 0{,}92388}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td rowspan="3">Länge der <b><a href="Diagonale_(Geometrie)" title="Diagonale (Geometrie)">Diagonalen</a></b>

</td>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{1}=2\cdot r_{\mathrm {u} }={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\cdot a\approx 2{,}613\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a6682f3ec9c52122f14b7d87139c09ff5626010.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:38.297ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle d_{1}=2\cdot r_{\mathrm {u} }={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\cdot a\approx 2{,}613\cdot a}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{2}=2\cdot r_{\mathrm {i} }=(1+{\sqrt {2}})\cdot a\approx 2{,}414\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86b6a4c6eacffbc77a6f2d1690903a7d6ecd5348.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.163ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle d_{2}=2\cdot r_{\mathrm {i} }=(1+{\sqrt {2}})\cdot a\approx 2{,}414\cdot a}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d_{3}={\sqrt {2}}\cdot r_{\mathrm {u} }={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\cdot a\approx 1{,}848\cdot a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5a1b367bd8c732a0511c86404d2e543916f4734.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:39.07ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle d_{3}={\sqrt {2}}\cdot r_{\mathrm {u} }={\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\cdot a\approx 1{,}848\cdot a}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td rowspan="2"><b><a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a></b>

</td>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=(2+2\cdot {\sqrt {2}})\cdot a^{2}\approx 4{,}828\cdot a^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48c3b5d3af6c5d00f776a2fdcdbdbf6651126593.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.915ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle A=(2+2\cdot {\sqrt {2}})\cdot a^{2}\approx 4{,}828\cdot a^{2}}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=2\cdot {\sqrt {2}}\cdot r_{\mathrm {u} }^{2}\approx 2{,}828\cdot r_{\mathrm {u} }^{2}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9d30df852fc872ef66c00ec1e0cb4aee7319246f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:26.925ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle A=2\cdot {\sqrt {2}}\cdot r_{\mathrm {u} }^{2}\approx 2{,}828\cdot r_{\mathrm {u} }^{2}}" loading="lazy"></span>

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Flächenberechnung"><span id="Fl.C3.A4chenberechnung"></span>Flächenberechnung</h3></div>

<p>Zerlege das regelmäßige Achteck in 8 <a href="Gleichschenkliges_Dreieck" title="Gleichschenkliges Dreieck">gleichschenklige Dreiecke</a>. Der von deren Schenkeln eingeschlossene <a href="Winkel" title="Winkel">Winkel</a> beträgt 360°/8 = 45°. Die beiden Basiswinkel des <a href="Dreieck" title="Dreieck">Dreieckes</a> betragen je 67,5°. Die Höhe halbiert das gleichschenklige Dreieck. Es entsteht durch Einzeichnen der <a href="H%C3%B6he_(Geometrie)" title="Höhe (Geometrie)">Höhe</a> ein <a href="Rechtwinkliges_Dreieck" title="Rechtwinkliges Dreieck">rechtwinkliges Dreieck</a> mit den Winkeln 67,5°, 22,5° und 90°. Folgende Lösungsansätze gehen von diesem rechtwinkligen Dreieck aus, dabei gilt:

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> ist die Seitenlänge des Achtecks.</li>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a'}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6cb64c0f02687512818f37839ce23ee049c37743.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.915ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a'}" loading="lazy"></span> ist die halbe Seitenlänge des Achtecks.</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{\mathrm {i} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9078217e8dafe6891e619804f8a4e53f1e06d6a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.738ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{\mathrm {i} }}" loading="lazy"></span> ist der <a href="Radius" title="Radius">Radius</a> des <a href="Inkreis" title="Inkreis">Inkreises</a>.</li>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{\mathrm {u} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e932683f041609b62abd4bb007d8d41e27e4f098.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.195ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{\mathrm {u} }}" loading="lazy"></span> ist der Radius des <a href="Umkreis" title="Umkreis">Umkreises</a>.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> ist der <a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a> des Achtecks.</li>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A'}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98a12527148d6ed68adc91d9b419eb4b92d58ef6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.428ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A'}" loading="lazy"></span> ist der Flächeninhalt des <a href="Rechtwinkliges_Dreieck" title="Rechtwinkliges Dreieck">rechtwinkligen Dreiecks</a>.</li></ul>

<p><b>Gegeben sei der Radius <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{\mathrm {i} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{\mathrm {i} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9078217e8dafe6891e619804f8a4e53f1e06d6a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.738ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{\mathrm {i} }}" loading="lazy"></span> des Inkreises:</b><br>Der gesuchte Schenkel (Gegenkathete zum spitzen Winkel) lässt sich durch den <a href="Tangens_und_Kotangens" title="Tangens und Kotangens">Tangens</a> von 22,5° ermitteln:

</p>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a'=r_{\mathrm {i} }\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9f8d59f9b79d382d537f761ace4da15f7e10a2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.366ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a'=r_{\mathrm {i} }\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Den <a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a> des <a href="Rechtwinkliges_Dreieck" title="Rechtwinkliges Dreieck">rechtwinkligen Dreiecks</a> erhält man durch

</p>

<msup>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A'={\frac {a'\cdot r_{\mathrm {i} }}{2}}={\frac {(r_{\mathrm {i} }\cdot \tan 22{,}5^{\circ })\cdot r_{\mathrm {i} }}{2}}={\frac {r_{\mathrm {i} }^{2}\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/13456253415379bf196326f8725c3c7568d10420.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:49.86ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle A'={\frac {a'\cdot r_{\mathrm {i} }}{2}}={\frac {(r_{\mathrm {i} }\cdot \tan 22{,}5^{\circ })\cdot r_{\mathrm {i} }}{2}}={\frac {r_{\mathrm {i} }^{2}\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}{2}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Das <a href="Gleichschenkliges_Dreieck" title="Gleichschenkliges Dreieck">gleichschenklige Dreieck</a> hat die doppelte Fläche des rechtwinkligen Dreiecks, das Achteck die achtfache Fläche des gleichschenkligen Dreiecks:

</p>

<msup>

</msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=2\cdot 8\cdot A'=16\cdot \left({\frac {r_{\mathrm {i} }^{2}\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}{2}}\right)=8\cdot r_{\mathrm {i} }^{2}\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/09cddfdff1e67ec1c73accfd18a1dfb997ad69a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:55.947ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle A=2\cdot 8\cdot A'=16\cdot \left({\frac {r_{\mathrm {i} }^{2}\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}{2}}\right)=8\cdot r_{\mathrm {i} }^{2}\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p><b>Gegeben sei die Seitenlänge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> des Achtecks:</b><br>Analog zur obigen Betrachtung lässt sich der <a href="Radius" title="Radius">Radius</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{\mathrm {i} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{\mathrm {i} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9078217e8dafe6891e619804f8a4e53f1e06d6a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.738ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{\mathrm {i} }}" loading="lazy"></span> des <a href="Inkreis" title="Inkreis">Inkreises</a> mit Hilfe des <a href="Tangens_und_Kotangens" title="Tangens und Kotangens">Tangens</a> von 22,5° ermitteln, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a'}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6cb64c0f02687512818f37839ce23ee049c37743.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.915ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a'}" loading="lazy"></span> sei die Hälfte von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span>:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msup>

</msup>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{\mathrm {i} }={\frac {a'}{\tan 22{,}5^{\circ }}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ad59dce9aa4a8768191d3fd29ca401c8549f7f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:14.608ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle r_{\mathrm {i} }={\frac {a'}{\tan 22{,}5^{\circ }}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Die <a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a> des <a href="Rechtwinkliges_Dreieck" title="Rechtwinkliges Dreieck">rechtwinkligen Dreiecks</a> erhält man durch

</p>

<msup>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

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</mrow>

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<mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A'={\frac {a'\cdot r_{\mathrm {i} }}{2}}={\frac {a'^{2}}{2\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5d55359f47d85b13cb36a7becb6ec2b1f0fa5c9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:27.406ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle A'={\frac {a'\cdot r_{\mathrm {i} }}{2}}={\frac {a'^{2}}{2\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Setzt man <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A'}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98a12527148d6ed68adc91d9b419eb4b92d58ef6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.428ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A'}" loading="lazy"></span> in die Formel für die Gesamtfläche ein, erhält man

</p>

<msup>

</msup>

<mfrac>

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<mrow>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

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</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

<mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

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</mrow>

<mfrac>

<mrow>

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</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=8\cdot 2\cdot A'=16\cdot {\frac {a'^{2}}{2\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}}={\frac {8\cdot a'^{2}}{\tan 22{,}5^{\circ }}}={\frac {2\cdot a^{2}}{\tan 22{,}5^{\circ }}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23a0837f39a3e01090da59b8342a0c581ad025ae.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:58.407ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle A=8\cdot 2\cdot A'=16\cdot {\frac {a'^{2}}{2\cdot \tan 22{,}5^{\circ }}}={\frac {8\cdot a'^{2}}{\tan 22{,}5^{\circ }}}={\frac {2\cdot a^{2}}{\tan 22{,}5^{\circ }}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p><b>Gegeben sei der Radius <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{\mathrm {u} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{\mathrm {u} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e932683f041609b62abd4bb007d8d41e27e4f098.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.195ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{\mathrm {u} }}" loading="lazy"></span> des Umkreises:</b><br>Das <a href="Verh%C3%A4ltnis_(Mathematik)" class="mw-redirect" title="Verhältnis (Mathematik)">Verhältnis</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a'}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6cb64c0f02687512818f37839ce23ee049c37743.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.915ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle a'}" loading="lazy"></span> zu <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{\mathrm {u} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{\mathrm {u} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e932683f041609b62abd4bb007d8d41e27e4f098.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.195ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{\mathrm {u} }}" loading="lazy"></span> entspricht dem <a href="Sinus_und_Kosinus" title="Sinus und Kosinus">Sinus</a> des <a href="Spitzer_Winkel" class="mw-redirect" title="Spitzer Winkel">spitzen Winkels</a>:

</p>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a'=r_{\mathrm {u} }\cdot \sin 22{,}5^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4bc076fe0aaaa555424927f811cb868fa95fbfe4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:17.318ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle a'=r_{\mathrm {u} }\cdot \sin 22{,}5^{\circ }}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Der <a href="Radius" title="Radius">Radius</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r_{\mathrm {i} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{\mathrm {i} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9078217e8dafe6891e619804f8a4e53f1e06d6a0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.738ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle r_{\mathrm {i} }}" loading="lazy"></span> des <a href="Inkreis" title="Inkreis">Inkreises</a> beträgt

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msup>

</msup>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{\mathrm {i} }={\frac {a'}{\tan 22{,}5^{\circ }}}={\frac {r_{\mathrm {u} }\cdot \sin 22{,}5^{\circ }}{\tan 22{,}5^{\circ }}}=r_{\mathrm {u} }\cdot \cos 22{,}5^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7e15d6da37768f4c441433365f38da9950e875cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:46.507ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle r_{\mathrm {i} }={\frac {a'}{\tan 22{,}5^{\circ }}}={\frac {r_{\mathrm {u} }\cdot \sin 22{,}5^{\circ }}{\tan 22{,}5^{\circ }}}=r_{\mathrm {u} }\cdot \cos 22{,}5^{\circ }}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Die <a href="Fl%C3%A4cheninhalt" title="Flächeninhalt">Flächeninhalt</a> des <a href="Rechtwinkliges_Dreieck" title="Rechtwinkliges Dreieck">rechtwinkligen Dreiecks</a> erhält man durch

</p>

<msup>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A'={\frac {a'\cdot r_{\mathrm {i} }}{2}}={\frac {r_{\mathrm {u} }^{2}\cdot \sin 22{,}5^{\circ }\cdot \cos 22{,}5^{\circ }}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9fee89a8975ddc9bad50a53b94cc2c92dd229ac.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:38.3ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle A'={\frac {a'\cdot r_{\mathrm {i} }}{2}}={\frac {r_{\mathrm {u} }^{2}\cdot \sin 22{,}5^{\circ }\cdot \cos 22{,}5^{\circ }}{2}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Setzt man <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A'}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/98a12527148d6ed68adc91d9b419eb4b92d58ef6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.428ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A'}" loading="lazy"></span> in die Formel für die Gesamtfläche ein, erhält man

</p>

<msup>

</msup>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=8\cdot 2\cdot A'=16\cdot \left({\frac {r_{\mathrm {u} }^{2}\cdot \sin 22{,}5^{\circ }\cdot \cos 22{,}5^{\circ }}{2}}\right)=8\cdot r_{\mathrm {u} }^{2}\cdot \sin 22{,}5^{\circ }\cdot \cos 22{,}5^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ac14029f2bdab299ce28ec074106b417feba598.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:75.594ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle A=8\cdot 2\cdot A'=16\cdot \left({\frac {r_{\mathrm {u} }^{2}\cdot \sin 22{,}5^{\circ }\cdot \cos 22{,}5^{\circ }}{2}}\right)=8\cdot r_{\mathrm {u} }^{2}\cdot \sin 22{,}5^{\circ }\cdot \cos 22{,}5^{\circ }}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>bzw. mit den <a href="Additionstheoreme_(Trigonometrie)" class="mw-redirect" title="Additionstheoreme (Trigonometrie)">Additionstheoremen</a> für die <a href="Winkelfunktionen" class="mw-redirect" title="Winkelfunktionen">Winkelfunktionen</a>

</p>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A=4\cdot r_{\mathrm {u} }^{2}\cdot \sin 45^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1b01510f86deb9d07f308b32a8c39ad31f7d684.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.179ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A=4\cdot r_{\mathrm {u} }^{2}\cdot \sin 45^{\circ }}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Geometrische_Konstruktionen">Geometrische Konstruktionen</h3></div>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Bei_gegebenem_Umkreis">Bei gegebenem Umkreis</h4></div>

<p>Konstruieren kann man ein regelmäßiges Achteck, indem man bei einem <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrat</a> die <a href="Symmetrieachse" class="mw-redirect" title="Symmetrieachse">Symmetrieachsen</a> mithilfe der <a href="Mittelsenkrechte" title="Mittelsenkrechte">Mittelsenkrechten</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{\mathrm {S} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{\mathrm {S} }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35c18b34da0f196111c281f93b7bf88ad97dfe3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.4ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{\mathrm {S} }}" loading="lazy"></span> konstruiert und deren Schnittpunkte mit dem <a href="Umkreis" title="Umkreis">Umkreis</a>, mit den Ecken des Quadrats verbindet.

</p><p>Eine Alternative zeigt die nebenstehende Animation.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Bei_gegebener_Seitenlänge"><span id="Bei_gegebener_Seitenl.C3.A4nge"></span>Bei gegebener Seitenlänge</h4></div>

<p>Die Konstruktion ist nahezu gleich der des regelmäßigen <a href="Sechzehneck#Bei_gegebener_Seitenlänge" title="Sechzehneck">Sechzehnecks bei gegebener Seitenlänge</a>.

</p><p>Zuerst werden die beiden Endpunkte der <a href="Seitenl%C3%A4nge" title="Seitenlänge">Seitenlänge</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"></span> bezeichnet. Beide sind <a href="Eckpunkt" class="mw-redirect" title="Eckpunkt">Eckpunkte</a> des entstehenden Achtecks. Es folgen ein <a href="Kreisbogen" title="Kreisbogen">Kreisbogen</a> mit dem <a href="Radius" title="Radius">Radius</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> um den <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkt</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"></span> und ein zweiter mit gleichem Radius um den Punkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span>, dabei ergeben sich die beiden <a href="Schnittpunkt" title="Schnittpunkt">Schnittpunkte</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle J}" loading="lazy"></span>. Es geht weiter mit der <a href="Halbgerade" class="mw-redirect" title="Halbgerade">Halbgeraden</a> ab <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"></span> durch <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle J}" loading="lazy"></span> und dem Zeichnen einer <a href="Parallelit%C3%A4t_(Geometrie)" title="Parallelität (Geometrie)">Parallelen</a> zu <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {IJ}}}">

<mover>

<mrow>

</mrow>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {IJ}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/11cba6bea54d4e5c77ff5b03c10d54f84a5f2829.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.876ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle {\overline {IJ}}}" loading="lazy"></span> ab dem Punkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"></span>, die den Kreisbogen um <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"></span> in <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"></span> schneidet. Nun wird der Punkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.066ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle K}" loading="lazy"></span> mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> verbunden, dabei entsteht der Schnittpunkt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"></span>. Anschließend wird die Halbgerade ab <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"></span> durch <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle L}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/103168b86f781fe6e9a4a87b8ea1cebe0ad4ede8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.583ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle L}" loading="lazy"></span> gezogen, dabei schneidet sie die Halbgerade ab <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"></span> in <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"></span>. Somit ist der <a href="Mittelpunkt" title="Mittelpunkt">Mittelpunkt</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"></span> des entstehenden Achtecks bestimmt. Die zweite Halbgerade ab <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> durch <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"></span> führt zum <a href="Zentriwinkel" class="mw-redirect" title="Zentriwinkel">Zentriwinkel</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 45^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 45^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c28223ddedeb94a84bb15474cc64b5ce436cbe50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.379ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 45^{\circ }}" loading="lazy"></span>. Nach dem Einzeichnen des <a href="Umkreis" title="Umkreis">Umkreises</a> um <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"></span> und durch <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> ergeben sich die Ecken <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C,E,F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C,E,F}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c21598f8082092a4fe7ec531492540aeba570d9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.351ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle C,E,F}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle H}" loading="lazy"></span> des Achtecks. Jetzt die zwei noch fehlende Seitenlängen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.23ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle a}" loading="lazy"></span> auf den Umkreis abtragen, sie ergeben die Ecken <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle D}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.827ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle G}" loading="lazy"></span>, und abschließend die benachbarten Ecken zu einem fertigen Achteck miteinander verbinden.

</p><p>Der <a href="Mittelpunktswinkel" class="mw-redirect" title="Mittelpunktswinkel">Mittelpunktswinkel</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"></span> mit der Winkelweite <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 45^{\circ }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 45^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c28223ddedeb94a84bb15474cc64b5ce436cbe50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.379ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle 45^{\circ }}" loading="lazy"></span> ergibt sich aus den ähnlichen <a href="Dreieck" title="Dreieck">Dreiecken</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta BLA\sim \Delta ABM:}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta BLA\sim \Delta ABM:}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/431d60e136e228ce23da018b25a676b56cb7c5c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:19.301ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \Delta BLA\sim \Delta ABM:}" loading="lazy"></span>

</p>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu =\angle {BAL}=\angle {AMB}=45^{\circ }.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4d49daf0ed2ca810ebc818173afd6bb779b29c14.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:29.118ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu =\angle {BAL}=\angle {AMB}=45^{\circ }.}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Parkettierungen_mit_regelmäßigen_Achtecken"><span id="Parkettierungen_mit_regelm.C3.A4.C3.9Figen_Achtecken"></span>Parkettierungen mit regelmäßigen Achtecken</h3></div>

<p>Eine bestimmte <a href="Archimedische_Parkettierung" class="mw-redirect" title="Archimedische Parkettierung">archimedische Parkettierung</a> enthält regelmäßige Achtecke und <a href="Quadrat" title="Quadrat">Quadrate</a>. Diese <a href="Parkettierung" title="Parkettierung">Parkettierung</a> ist periodisch, <a href="Drehsymmetrie" class="mw-redirect" title="Drehsymmetrie">drehsymmetrisch</a> und <a href="Translationssymmetrie" class="mw-redirect" title="Translationssymmetrie">translationssymmetrisch</a> und enthält ausschließlich <a href="Regelm%C3%A4%C3%9Figes_Polygon" title="Regelmäßiges Polygon">regelmäßige Polygone</a>.

</p>

<div class="gallerytext"><a href="Archimedische_Parkettierung" class="mw-redirect" title="Archimedische Parkettierung">Archimedische Parkettierung</a> mit regelmäßigen Achtecken und Quadraten</div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Polyeder_mit_regelmäßigen_Achtecken"><span id="Polyeder_mit_regelm.C3.A4.C3.9Figen_Achtecken"></span>Polyeder mit regelmäßigen Achtecken</h3></div>

<p>Einige <a href="Polyeder" title="Polyeder">Polyeder</a> haben regelmäßige Achtecke als <a href="Seitenfl%C3%A4che" class="mw-redirect" title="Seitenfläche">Seitenflächen</a>, zum Beispiel der <a href="Hexaederstumpf" title="Hexaederstumpf">Hexaederstumpf</a> und das <a href="Gro%C3%9Fes_Rhombenkuboktaeder" title="Großes Rhombenkuboktaeder">Große Rhombenkuboktaeder</a>. Die genannten Polyeder sind <a href="Archimedischer_K%C3%B6rper" title="Archimedischer Körper">archimedische Körper</a>.

</p>

<div class="gallerytext"><a href="Hexaederstumpf" title="Hexaederstumpf">Hexaederstumpf</a></div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Gro%C3%9Fes_Rhombenkuboktaeder" title="Großes Rhombenkuboktaeder">Großes Rhombenkuboktaeder</a></div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vorkommen">Vorkommen</h3></div>

<div class="gallerytext"><a href="Oktogon_(Architektur)" title="Oktogon (Architektur)">Oktogon (Architektur)</a></div>

</li>

<div class="gallerytext">Gartentisch</div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Caf%C3%A9_Achteck" title="Café Achteck">Café Achteck</a></div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Reichskrone" title="Reichskrone">Reichskrone</a> in der <a href="Wiener_Schatzkammer" class="mw-redirect" title="Wiener Schatzkammer">Wiener Schatzkammer</a></div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Stoppschild" title="Stoppschild">Stoppschild</a></div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Silberner_Schnitt" title="Silberner Schnitt">Silberner Schnitt</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"></span></span></div><b><span class=""><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Octagons?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Achteck</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><span class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wiktionary"></span></span></span><b><a href="https://de.wiktionary.org/wiki/Achteck" class="extiw external" title="wikt:Achteck">Wiktionary: Achteck</a></b> – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen</div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://josmfs.net/wordpress/wp-content/uploads/2019/04/Putnam-Octagon-Problem-181112.pdf">Putnam Octagon Problem</a> abgerufen am 8. August 2023</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Roger B. Nelsen: <i>Beweise ohne Worte</i>, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, <a href="Springer_Spektrum" title="Springer Spektrum">Springer Spektrum</a>, Springer-Verlag <a href="Berlin" title="Berlin">Berlin</a> <a href="Heidelberg" title="Heidelberg">Heidelberg</a> 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 160: <i>Die Fläche eines Putnam-Achtecks (Problem B1, 39. William Lowell Putnam-Mathematik-Wettbewerb 1978)</i></span>

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4761762-7">4761762-7</a></span> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

Dieser Artikel wurde von <a class="external text" title="Zuletzt bearbeitet am 2025-12-07" href="https://de.wikipedia.org/wiki/?title=Achteck&oldid=262211442">Wikipedia</a> herausgegeben. Der Text ist unter <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a> verfügbar, sofern nicht anders angegeben. Für die Mediendateien können zusätzliche Bedingungen gelten.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>